Acuan Soal Barisan Dan Deret Aritmatika Beserta Jawabannya

Pembahasan mata pelajaran matematika kali ini akan mengupas dilema mengenai barisan dan deret aritmatika.

Persoalan yang paling sering muncul atau ditanyakan ialah mencari suku ke-n dari suatu barisan, memilih beda antar suku, menentukan banyaknya suku dan mencari nilai suku pertama.

Namun sebelum kita memasuki ke latihan soal, kita akan memahami apalagi dulu apa itu barisan dan deret aritmatika. Karena selain barisan dan deret aritmatika, kita juga mengenal barisan dan deret geometri. Namun dalam pembahasan kali ini, konsentrasi kita teteap pada barisan dan deret aritmatika.

Barisan dan Deret Aritmatika

Setelah diuraikan dalam penjelasan berikutnya, dibutuhkan kita mengerti mirip apa barisan atau deret serta perbedaannya dan juga mengenali maksud dari barisan dan deret aritmatika. Disamping itu kita dapat mengerti yang mana dinamakan suku dan nilai beda.

Apa itu Barisan ?

Barisan yaitu suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh:

1, 2, 3, 4, 5,6,7 (Bilangan 1 yakni suku pertama, bilangan 2 yaitu suku kedua dst)
2, 5, 8, 11, 14,17 (Bilangan 8 yakni suku ketiga, bilangan 17 ialah suku keenam).
14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 (Bilangan 12 yaitu suku kedua, bilangan 10 ialah suku ketiga dst).

Sehingga terperinci bahwa barisan itu kumpulan bilangan yang memiliki acuan tertentu, sedangkan bilangan-bilangan yang membentuk barisan dengan acuan tertentu dinamakan suku. Ada yang bertindak selaku suku pertama, kedua, ketiga dst.

Apa itu Deret ?

Penjumlahan suku-suku dari sebuah barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U₃,…..U_n
maka : U₁ + U₂ + U₃ +… +U_n yakni deret.

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + .U_n

2 + 4 + 6 + 8 +… + .U_n

Apa itu barisan Aritmatika ?

Barisan aritmatika yakni barisan yang memiliki nilai selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut disebut nilai beda, disimbolkan dengan b.

Dalam barisan aritmatika, urutan perbedaan antara satu suku dengan suku selanjutnya adalah konstan. Dengan kata lain, kita cuma menyertakan nilai yang sama setiap waktu.

Contoh:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, …

Barisan tersebut memiliki nilai beda 3 antara satu suku dengan suku selanjutnya.

Secara lazim, kita mampu menulis barisan aritmatika tersebut :

a, a+b, a+2b, a+3b, …

dimana:

a ialah suku pertama,
b yakni nilai beda.

Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

1. Untuk mencari Suku ke-n :

U_n = a + (n – 1)b
dimana :

U_n: suku ke-n
a: suku pertama
b: nilai beda
n: banyak suku

2. Untuk mencari nilai beda :

b = U_n-U_(n-1)
dimana :

b yaitu nilai beda
U_n: suku ke-n

3. Untuk mencari Suku Tengah
Kita dapat mencari suku tengah yang memiliki n suku ganjil (banyaknya sukunya ganjil) dimana dimengerti suku pertama dan suku terakhir, maka digunakan rumus :

U_t = a + U_n 2
dimana :

U_t ialah suku tengah
a yaitu suku pertama
U_n yakni suku ke-n (dalam hal ini bertindak selaku suku terakhir)

Namun bila untuk mencari suku tengah yang kondisinya cuma dimengerti suku pertama, banyaknya n suku dan nilai beda, maka rumusnya:

U_t = a + (n-1)b 2 dimana :

U_t adalah suku tengah
a yaitu suku pertama
n menyatakan banyaknya suku
b menyatakan nilai beda

Apa itu Deret Aritmatika

Deret aritmatika yaitu jumlah dari barisan aritmatika yang biasa ditandai dengan tanda plus (+).

Contoh :

2 + 4 + 6 + 8 + 10
3 + 6 + 9 + 12 + 15

Untuk mencari jumlah dari suatu deret aritmatika, dipakai rumus:

S_n = n 2 (a+U_n)
atau
S_n = n 2 (2a + (n-1)b) dimana :

S_n menyatakan jumlah suku ke-n
a ialah suku pertama
U_n menyatakan nilai suku ke-n
b menyatakan nilai beda
n menyatakan banyaknya suku

Latihan Soal

Soal No.1

Sebuah barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanyanya 4 dan suku terakhirnya ialah 20, maka suku tengahnya ialah:
a. 12
b. 8
c. 10
d. 16

Pembahasan

a = 4
U_n = 20
U_t= a + U_n 2 = 20 + 4 2 = 12

Jawab : a

Soal No.2

Terdapat sebuah barisan aritmatika sebanyak tujuh suku. Jika suku pertama dan nilai bedanya yaitu 2. Berapakah suku tengahnya ?
a. 9
b. 8
c. 10
d. 12

Pembahasan:

a = 2
b = 2
n = 7
U_t= a + (n-1)b 2 U_t= a + (n-1)b 2 = 2 + (7-1)2 2 = 8

Jawab : b

Soal No.3

Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 5, 8, 11, 14, ………U_n. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut:
a. U_n = 3n -1
a. U_n = 3n -2
c. U_n = 3n + 1
d. U_n = 3n + 3

Pembahasan:

a = 2
b = 3
U_n= a + (n-1)b
U_n= 2 + (n-1)3 = 2 + 3n – 3 = 3n-1

Jawab : a

Soal No.4

Diketahui U₂ + U₄ = 12 dan U₃ + U₅ = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah
a. 15
b. 14
c. 12
d. 10

Pembahasan

Dari penjumlahan suku ke-2 dan ke-4 :
(1) U₂ +U₄ = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6

Dari penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 :
(2) U₃ + U₅ = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8

Langkah berikutnya, kita akan melaksanakan substitusi persamaa 1 ke persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b…. substitusi ke persamaan (2)

Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2

Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.

Makara, suku pertama barisan itu ialah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U₇ = a + 6b
⇒ U₇ = 2 + 6(2) ⇒ U₇ = 14

Jawab: b

Soal No.5

Dalam sebuah barisan aritmatika diketahui suku kedua adalah 5 dan suku kelima ialah 14. Maka berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut ?
a. 210
b. 300
c. 430
d. 155

Pembahasan:

Suku Kedua :
⇒ U₂ = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 – b…(Persamaan 1)

Suku Kelima :
⇒ U₅ = 14
⇒ a + 4b = 14…(Persamaan 2)

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 – b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Kaprikornus a = 5 -b
⇒ a = 5 – 3 = 2

Jumlah 10 suku pertama:
⇒ S_n= n 2 (a+U_n)
⇒ S₁₀= 10 2 (a+U₁₀)
⇒ S₁₀= 5 (a + a + 9b)
⇒ S₁₀= 5 (2 + 2 + 9.3)
⇒ S₁₀= 155

Jawab: d

Soal No.6

Diketahui suatu suku ke-4 dan suku ke-9 dari deret aritmatika yakni 16 dan 51. Jumlah 25 suku pertama ialah …
a. 163
b. 326
c. 1975
d. 3950

Pembahasan

Rumus suku ke-n :
U_n = a + (n – 1)b

Suku ke-4 :
⇒ U₄ = 16 ⇒ a + 3b = 16 ……(Persamaan 1)

Suku ke-9 :
⇒ U₉ = 51 ⇒ a + 8b = 51 ……(Persamaan 2)

Lakukan penngurangan Persamaan(2) dengan Persamaan(1) :

a + 8b = 51 a + 3b = 16 ___________ _     5b = 35      b = 7

Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 3b = 16
⇒ a + 3(7) = 16
⇒ a + 21 = 16
⇒ a = 16 -21
⇒ a = -5

Jumlah 25 suku pertama:
⇒ S_n= n 2 (a+U_n)
⇒ S₂₅ = 25 2 (a + U₂₅)
⇒ S₂₅ = 25 2 (a + a + 24b )
⇒ S₂₅ = 25 2 (-5 – 5 + 24(7) )
⇒ S₂₅ = 25 2 (-10 + 168 )
⇒ S₂₅ = 25 2 158
S₂₅ = 1975

Jawab : c

Soal No.7

Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan 114.Jumlah bilangan terbesar dan terkecil adalah….
a. 36 dan 40
b. 36 dan 38
c. 38 dan 40
d. 36 dan 42

Pembahasan

Dari soal di atas, bilangan genap berurutan niscaya akan mempunyai nilai beda sama dengan 2.

Lalu dari bilangan genap berturut-turut, dapat kita misalkan U₁, U₂, U₃

Dari soal diketahui tiga bilangan genap berurutan bernilai 114, dapat kita maknai sebagai :
U₁ + U₂ + U₃ = 114
Suku ke-1 yakni :
⇒ U₁ = a + (1 – 1) 2
⇒ U₁ = a

Suku ke-2:
⇒ U₂ = a + (n – 1) b
⇒ U₂ = a + (2 – 1) 2
⇒ U₂ = a + 2

Suku ke-3:
⇒ U₃ = a + (n – 1) b
⇒ U₃ = a + (3 – 1) 2
⇒ U₃ = a + 4

Lalu jumlahkan ketiga suku tersebut :
U₁ + U₂ + U₃ = 114
⇒ a + a + 2 + a + 4 = 114
⇒ 3a + 6 = 114
⇒ 3a = 114 – 6
⇒ 3a = 108
⇒ a = 36

Kaprikornus suku ke-2 ialah :
⇒ U₂ = a + 2
⇒ U₂ = 36 + 2
⇒ U₂ = 38

Kaprikornus suku ke-3 yakni :
⇒ U₂ = a + 4
⇒ U₂ = 36 + 4
⇒ U₂ = 40

Kaprikornus nilai bilangan terkecil 36 dan bilangan terbesar 40

Jawab : a

Soal No.8

Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut:
5, -2, -9, -16, ….
a. -338
b. -77
c. -438
d. 128

Pembahasan

a = 5

Misal kita cari beda suku ke-3 dan ke-2
b = U_n-U_(n-1)
b = U₃-U_(3-1)
b = U₃-U₍₂₎
b = (-9) – (-2)
b = -9 + 2
b = -7

Maka suku ke-50:
U_n = a + (n – 1)b
U₅₀ = 5 + (50 – 1).-7
U₅₀ = 5 + (49).-7
U₅₀ = 5 – 343
U₅₀ = -338

Jawab : a

Soal No.9

Jika dimengerti barisan aritmatika dengan suku ke-3 = 12 dan suku ke-8 = 37. Maka suku pertama dan nilai bedanya yaitu…
a. suku pertama = 2 dan nilai beda = 7
b. suku pertama = 2 dan nilai beda = 5
c. suku pertama = 7 dan nilai beda = 7
d. suku pertama = 7 dan nilai beda = 5

Pembahasan

Diketahui suku ke-3 = U₃ = 12, maka
U_n = a + (n – 1)b
12 = a + (3 – 1)b
12 = a + 2b …..Persamaan (1)

Diketahui suku ke-8 = U₃ = 37, maka
U_n = a + (n – 1)b
37 = a + (8 – 1)b
12 = a + 7b …..Persamaan (2)

Lakukan penghematan persamaan (2) dan (1)

a + 7b = 37 a + 2b = 12 ___________ _     5b = 25      b = 5

Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 2b = 12
⇒ a + 2(5) = 12
⇒ a + 10 = 12
⇒ a = 12 – 10
⇒ a = 2

Kaprikornus suku pertama = 2 dan nilai beda = 5

Jawab b

Anda mampu menyimak pembahasan dari acuan soal dalam bentuk video berikut ini :

Barisan dan Deret Aritmatika

Apa itu Barisan ?

Apa itu Deret ?

Apa itu barisan Aritmatika ?

Contoh:

a, a+b, a+2b, a+3b, …

Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

Apa itu Deret Aritmatika

Latihan Soal

Related News

Read Also

Recommendation for You