Materi panduan mata pelajaran matematika kita kali ini akan membicarakan tentang “Turunan” atau yang dikenal dengan nama lain “Differensiasi“.
Dalam penelitian fisika, seperti bandul memakai turunan, pergerakannya mempunyai nilai yang dapat di gunakan sebagai turunan. Seperti halnya dengan lempar lembing,lempar cakram, menembak, dan lain – lain. Setiap waktu dan percepatannya memiliki nilai yang mampu mengenali penurunan. Begitu juga penurunan di gunakan dalam astronomi,geografi,dan ekonomi.
Definisi Turunan
Turunan fungsi aljabar merupakan perluasan dari bahan limit fungsi. Turunan fungsi dinotasikan f'(x), dengan rumus :
Bentuk limit di atas disebut dengan derivatif atau turunan pertama fungsi f(x) dan ditulis f'(x). Proses mencari derivatif disebut dengan differensial.
Jenis-Jenis Notasi Turunan
Jika membaca beberapa sumber rujukan, terdapat penulisan notasi yang berbeda-beda dalam melambangkan suatu turunan. Terdapat tiga jenis notasi turunan yaitu :
- y’ = f'(x) , merupakan notasi Lagrange
-
dy dx
=
df(x) dx, merupakan notasi >Leibniz
- Dxy = Dx[f(x)] , merupakan notasi Euler.
Soal – Soal Latihan Turunan
Soal No.1
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 10x
b) f(x) = 8
c) f(x) = 12
Pembahasan
⇔f(x) = 10x1
⇔f'(x) = 10x1−1
⇔f'(x) = 10x0
⇔f'(x) = 10
b) f(x) = 8
⇔f(x) = 8x0
⇔f'(x) = 0 ⋅ 8x0−1
⇔f'(x) = 0
c) f(x) = 12
⇔f(x) = 12x0
⇔f'(x) = 0 ⋅ 12x0−1
⇔f'(x) = 0
Soal No.2
Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi di bawah ini :
a. f(x) = 6x
b. f(x) = x4
c. f(x) = -4x5
d. f(x) = 4x3 – 3x2 + 8x -5
Pembahasan
⇔ f'(x) = 6
b. f(x) = x4
⇔ f'(x) = 4x3
c. f(x) = -4x5
⇔ f'(x) = -20x4
d. f(x) = 4x3 – 3x2 + 8x -5
⇔ f'(x) = 12x2 – 6x + 8
Soal No.3
Carilah Turunan Kedua (f”(x)) dari fungsi f(x) = 4x3 – 3x2 + 8x – 5
Pembahasan
f'(x) = 4.3x(3-1) – 3.2x(2-1) + 8 – 0
f'(x) = 12x2 -6x + 8
f”(x) = 12.2x(2-1) – 6 + 0
f”(x) = 24x – 6
Soal No.4
Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi dibawah ini :
a. f(x) =
b. f(x) =
Pembahasan
⇔ f(x) = 2x-1
f'(x) = 2.(-1)x(-1-1)
f'(x) = -2x-2
f'(x) = –
b. f(x) =
⇔ f(x) =
x-6
f'(x) =
.(-6) . x(-6-1)
f'(x) = –
x-7
f'(x) = –
Soal No.5
Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi dibawah ini :
a. f(x) = 3x1/2
b. f(x) = 6x3/2
Pembahasan
⇔ f'(x) =
. 3x(1/2 – 1)
⇔ f'(x) =
. x-1/2
b. f(x) = 6x3/2
⇔ f'(x) =
. 6x(3/2 – 1)
⇔ f'(x) = 9x1/2
Soal No.6
Carilah turunan f'(x) untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5)
Pembahasan
u = (x2 + 2x + 3)
v = (4x + 5)
Sehingga ditemukan u’ = 2x + 2 v’ = 4
Kemudian kita masukkan ke dalam rumus f'(x) = u’v + uv’ sehingga turunannya menjadi :
f'(x) = (2x + 2)(4x + 5) + (x2 + 2x + 3)(4)
f'(x) = 8x2 + 10x + 8x + 10 + 4x2 + 8x + 12
f'(x) = 8x2 + 4x2 + 10x + 8x + 8x + 10 + 12
f'(x) = 12x2 + 26x + 22
Soal No.7
Diketahui :
f(x) =
Jika f ‘(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ‘ (0) =..?
Pembahasan
f(x) =
f(0) =
= 3
Sedangkan untuk menentukan turunan terhadap fungsi f(x) yang berbentuk hasil bagi, kita gunakan rumus :
f(x) =
f(x) =
Dengan demikian, kita misalkan :
u = x2 + 3 ⇔ u’ = 2x
v = 2x + 1 ⇔ v’ = 2
Sehingga turunannya yaitu:
f(x) =
f'(x) =
f'(x) =
f'(x) =
Untuk nilai x = 0, maka di peroleh:
f'(0) =
= -6
Sehingga f(0) + 2f'(0) = 3 + 2(−6) = − 9
Soal No.8
Jarak yang ditempuh suatu mobil dalam waktu t diputuskan oleh fungsi:
Hitunglah nilai t untuk mendapatkan kecepatan maksimum kendaraan beroda empat tersebut
Pembahasan
S(t) = 3t2 – 24t + 5
S'(t) = 2.3t(2-1) – 1.24t(1-1) + 0
S'(t) = 6t – 24 = 0
6t = 24
t =
= 4 detik
Soal No.9
Sebuah pabrik baju dalam memproduksi membutuhkan x meter kain yang dinyatakan dengan fungsi:
x2 – 12x + 150 (dalam juta rupiah)
Berapa ongkos produksi minimum yang dikeluarkan oleh pabrik baju tersebut ?
Pembahasan
P(x) =
x2 – 12x + 150 (dalam juta rupiah)
P'(x) =
.2.x – 12
P'(x) =
x – 12
Karena kita akan mencari nilai minimum, sesuai dengan syarat P'(x) = 0, maka :
P'(x) = 0
x – 12 = 0
x = 12
x =
= 18
Dengan demikian, biaya produksinya ialah :
P(x) =
x2 – 12x + 150
P(18) =
(182) – 12(18) + 150
P(18) = 108 – 216 + 150
p(18) = 42 (dalam juta rupiah)
Soal No.10
Turunan dari fungsi f(x) =
yaitu …..
A.
B.
C.
D.
Pembahasan
f(x) =
Dengan demikian :
u = x – 2 ⇔ u’ = 1
v = x2 + 3 ⇔ v’ = 2x
Sehingga turunannya yakni:
f(x) =
f'(x) =
f'(x) =
f'(x) =
Jawab : D